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Convertir et simplifier des expressions plus complexes avec des racines

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Lorsque nous nous familiarisons avec la racine à l'école, nous étudions le concept d'expressions irrationnelles. Ces expressions sont étroitement liées aux racines.

Expressions irrationnelles Sont des expressions qui ont une racine. Autrement dit, ce sont des expressions qui ont des radicaux.

Sur la base de cette définition, nous avons que x - 1, 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3, 7 - 4 · 3 · (2 ​​+ 3), 4 · a 2 j 5: d 9 2 · a 3 5 - Ce sont toutes des expressions de type irrationnel.

Quand on considère l'expression x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 x x 8 3, on s'aperçoit que l'expression est rationnelle. Les expressions rationnelles incluent les polynômes et les fractions algébriques. Les irrationnels incluent le travail avec des expressions logarithmiques ou des expressions enracinées.

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Au début de la leçon, nous allons répéter les propriétés de base des racines carrées, puis considérons quelques exemples complexes pour simplifier les expressions contenant des racines carrées.

Si vous avez des difficultés à comprendre le sujet, nous vous recommandons de consulter la leçon «Simplification des expressions».

Répéter les propriétés de la racine carrée

Nous répétons brièvement la théorie et rappelons les propriétés fondamentales des racines carrées.

Propriétés des racines carrées:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Exemples de simplification d'expressions avec des racines

Passons à des exemples d'utilisation de ces propriétés.

Exemple 1 Simplifier l'expression.

Solution Pour simplifier, le nombre 120 doit être décomposé en facteurs simples:

. Nous allons révéler le carré de la somme selon la formule correspondante:

.

Exemple 2 Simplifier l'expression.

Solution Nous prendrons en compte le fait que cette expression n’a pas de sens pour toutes les valeurs possibles de la variable, car les racines et les fractions carrées sont présentes dans cette expression, ce qui conduit à un «rétrécissement» de la plage des valeurs permises. ODZ :).

Nous donnons l'expression entre parenthèses au dénominateur commun et écrivons le numérateur de la dernière fraction en tant que différence de carrés:

.

La réponse..

Exemple 3 Simplifier l'expression.

Solution On peut voir que la deuxième tranche du numérateur a une apparence inconfortable et doit être simplifiée, nous allons essayer de la factoriser en utilisant la méthode de regroupement.

. Pour pouvoir factoriser un facteur commun, nous avons simplifié les racines en les factorisant. Remplacez l'expression résultante dans la fraction d'origine:

. Après réduction de la fraction, on applique la formule de la différence de carrés.

Un exemple de se débarrasser de l'irrationalité

Exemple 4 Pour se débarrasser de l'irrationalité (racines) dans le dénominateur: a).

Solution a) Afin d'éliminer l'irrationalité du dénominateur, on utilise la méthode standard consistant à multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le facteur conjugué au dénominateur (la même expression, mais avec le signe opposé). Ceci est fait pour compléter le dénominateur de la fraction à la différence des carrés, ce qui vous permet de vous débarrasser des racines du dénominateur. Nous réalisons cette technique dans notre cas:

.

b) nous effectuons des actions similaires:

.

La réponse..

Un exemple de preuve et d’attribution d’un carré complet dans un radical complexe

Exemple 5 Prouvez l'égalité.

Preuve. Nous utilisons la définition de la racine carrée, d'où il découle que le carré de l'expression correcte doit être égal à l'expression racine:

. Nous révélons les crochets selon la formule du carré de la somme:

, obtenu la vraie égalité.

Exemple 6 Simplifier l'expression.

Solution L'expression indiquée est généralement appelée radical complexe (racine sous la racine). Dans cet exemple, vous devez deviner pour sélectionner le carré complet de l'expression racine. Pour cela, nous notons celui des deux termes, et pour le rôle du second - 1.

. Remplacez cette expression à la racine:

.

La réponse..

Dans cette leçon, nous terminons le sujet «Fonction. Les propriétés de la racine carrée ”, et dans la prochaine leçon, nous abordons le nouveau sujet“ Nombres réels ”.

Références

1. Bashmakov M.I. Algèbre 8ème année. - M .: Education, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA and other Algèbre 8. - 5ème éd. - M.: Education, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algèbre 8ème année. Manuel pour les établissements d'enseignement. - M .: Education, 2006.

Liens supplémentaires recommandés vers des ressources Internet

1. Le portail Internet xenoid.ru (Source).

2. Ecole mathématique (Source).

3. Portail Internet XReferat.Ru (Source).

Devoirs

1. N ° 357, 360, 372, 373, 382. Dorofeev G.V., Suvorova SB, Bunimovich EA and other Algèbre 8. - 5ème éd. - M.: Education, 2010.

2. Débarrassez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur: a).

3. Simplifiez l'expression: a).

4. Prouver l'identité.

Si vous trouvez une erreur ou un lien cassé, merci de nous le faire savoir - apportez votre contribution au développement du projet.

Les principaux types de transformations d'expressions irrationnelles

Lors du calcul de telles expressions, il est nécessaire de faire attention au DLD. Elles nécessitent souvent des transformations supplémentaires sous la forme de crochets d’ouverture, de membres similaires, de groupes, etc. Les actions avec des nombres sont à la base de telles transformations. Les transformations d'expressions irrationnelles obéissent à un ordre strict.

Convertir l'expression 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3.

Vous devez remplacer le nombre 9 par une expression contenant la racine. Puis on obtient ça

81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3

L'expression résultante a des termes similaires, nous effectuons donc la réduction et le regroupement. Nous obtenons

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
La réponse est: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

Présentez l'expression x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 sous la forme d'un produit de deux produits irrationnels utilisant les formules de multiplication abrégées.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Nous représentons 9 sous la forme de 3 2, et nous appliquons la formule de la différence de carrés:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2

Le résultat des transformations identiques a conduit au produit de deux expressions rationnelles qu'il fallait trouver.

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Vous pouvez effectuer un certain nombre d'autres transformations liées à des expressions irrationnelles.

Convertir une expression racine

Il est important que l'expression sous le signe de la racine puisse être remplacée par une identiquement identique à celle-ci. Cette déclaration permet de travailler avec l'expression radicale. Par exemple, 1 + 6 peut être remplacé par 7 ou 2 · un 5 4 - 6 par 2 · un 4 · un 4 - 6. Ils sont identiquement égaux, donc le remplacement est logique.

Lorsqu'il n'y a pas de a 1 autre que a, où une inégalité de la forme a n = a 1 n est vraie, alors une telle égalité n'est possible que pour a = a 1. Les valeurs de telles expressions sont égales à toutes les valeurs des variables.

Utiliser les propriétés de la racine

Les propriétés de la racine sont utilisées pour simplifier les expressions. Pour appliquer la propriété a · b = a · b, où a ≥ 0, b ≥ 0, puis à partir de la forme irrationnelle 1 + 3 · 12, nous pouvons devenir identiquement égaux à 1 + 3 · 12. Propriété . . nk n 2 n 1 = n 1 · n 2 · ,. . . , · N k, où a ≥ 0 indique que x 2 + 4 4 3 peut être écrit sous la forme x 2 + 4 24.

Il y a des nuances dans la transformation des expressions radicales. S'il y a une expression, alors - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 nous ne pouvons pas écrire, car la formule a b n = a n b n ne sert que pour a non négatif et b positif. Si la propriété est appliquée correctement, nous obtenons une expression de la forme 7 4 81 4.

Pour une transformation correcte, les transformations d’expressions irrationnelles utilisant les propriétés des racines sont utilisées.

Introduire un multiplicateur sous le signe racine

Entrez sous le signe racine - signifie remplacer l'expression B · C n, et B et C sont des nombres ou des expressions, où n est un nombre naturel supérieur à 1, une expression égale ayant la forme Bn.Cn ou - Bn.Cn.

Si nous simplifions l'expression de la forme 2 x 3, alors après avoir entré sous la racine, nous obtenons que 2 3 x x 3. De telles transformations ne sont possibles qu’après une étude détaillée des règles d’introduction d’un facteur sous le signe racine.

Extraction du facteur sous le signe de la racine

S'il existe une expression de la forme B n · C n, elle est réduite à la forme B · C n, où il y a des impairs n, qui prennent la forme B · C n avec même n, B et C sont des nombres et des expressions.

C'est-à-dire que si nous prenons une expression irrationnelle de la forme 2 x 3, retirons le facteur de sous la racine, nous obtiendrons alors l'expression 2 x 3. Ou x + 1 2 · 7 aboutira à une expression de la forme x + 1 · 7, qui a une autre notation sous la forme x + 1 · 7.

Il est nécessaire d'extraire le facteur de dessous la racine pour simplifier l'expression et la transformer rapidement.

Convertir des fractions contenant des racines

Une expression irrationnelle peut être un nombre naturel ou une fraction. Pour convertir des expressions fractionnaires, une grande attention est accordée à son dénominateur. Si nous prenons une fraction de la forme (2 + 3) · x 4 x 2 + 5 3, alors le numérateur prendra la forme 5 x 4, et en utilisant les propriétés des racines, nous obtiendrons que le dénominateur devient x 2 + 5 6. La fraction initiale peut être écrite sous la forme 5 x 4 x 2 + 5 6.

Il faut faire attention au fait qu'il est nécessaire de changer le signe du numérateur ou du dénominateur. Nous obtenons que

- x + 2 x x 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x x (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

La réduction de fraction est le plus souvent utilisée dans la simplification. Nous obtenons que

3 x x 4 3 - 1; x x + 4 3 - 1 3 nous réduisons de x + 4 3 - 1. Nous obtenons l'expression 3 · x x + 4 3 - 1 2.

Avant réduction, il est nécessaire d'effectuer des transformations qui simplifient l'expression et permettent de factoriser l'expression complexe. Les formules les plus couramment utilisées sont la multiplication abrégée.

Si nous prenons une fraction de la forme 2 · x - y x + y, alors il est nécessaire d'introduire de nouvelles variables u = x et v = x, l'expression donnée changera alors la forme et deviendra 2 · u 2 - v 2 u + v. Le numérateur devrait être décomposé en polynômes par la formule, alors nous obtenons que

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v. Après avoir effectué le remplacement inverse, nous arrivons à la forme 2 · x - y, qui est égale à celle d'origine.

La réduction à un nouveau dénominateur est autorisée, il est alors nécessaire de multiplier le numérateur par un facteur supplémentaire. Si nous prenons une fraction de la forme x 3 - 1 0, 5 · x, alors nous apportons au dénominateur x. pour cela, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression 2 x, nous obtenons l'expression x 3 - 1 0, 5 x = 2 x, x 3 - 1 0, 5 x x 2 x = 2 x x - 1 x.

La réduction des fractions ou la réduction de fractions similaires n'est nécessaire que sur le ODZ de la fraction indiquée. Lorsque nous multiplions le numérateur et le dénominateur par l'expression irrationnelle, nous obtenons que nous nous débarrassons de l'irrationalité dans le dénominateur.

Transition des racines aux degrés

Les transitions des racines aux degrés sont nécessaires à la conversion rapide d'expressions irrationnelles. Si nous considérons l'égalité a m n = a m n, nous pouvons voir que son utilisation est possible lorsque a est un nombre positif, m est un entier et n est un nombre naturel. Si nous considérons l'expression 5-2-3, sinon nous avons le droit de l'écrire sous la forme 5-2.3. Ces expressions sont équivalentes.

Lorsqu'il existe un nombre négatif ou un nombre avec des variables sous la racine, la formule a m n = a m n n'est pas toujours applicable. S'il est nécessaire de remplacer de telles racines par (- 8) 3 5 et (- 16) 2 4 degrés, on obtient alors - 8 3 5 et - 16 2 4 par la formule a m n = a m n ne fonctionne pas avec a négatif. pour analyser en détail le sujet des expressions radicales et de leurs simplifications, il est nécessaire d'étudier l'article sur le passage des racines aux diplômes et inversement. Il convient de rappeler que la formule a m n = a m n ne s'applique pas à toutes les expressions de ce type. Se débarrasser de l'irrationalité contribue à simplifier davantage l'expression, sa transformation et sa solution.

Regarde la vidéo: Réduire les racines carrées 1 - Seconde (Août 2022).

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